Questão 142 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos determinar o número total de configurações possíveis que um cliente pode escolher ao montar seu carro e, a partir disso, descobrir a quantidade mínima de cores necessárias para que esse total ultrapasse $1000$.

Vamos analisar as escolhas disponíveis para o cliente, etapa por etapa, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, que nos diz que o total de combinações é o produto das possibilidades de cada etapa.

Analisando as opções

1. Modelos: O enunciado nos diz que existem $7$ modelos disponíveis.
2. Motores: Existem $2$ tipos de motores ($1.0$ e $1.6$).
3. Opcionais: Aqui está o ponto de maior atenção da questão. Existem $3$ opcionais disponíveis (central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro). O cliente pode escolher incluir um, dois, três ou nenhum deles. Isso significa que, para cada opcional, o cliente tem $2$ escolhas: incluir ou não incluir. Como são $3$ opcionais independentes, o número total de configurações de opcionais é dado por: $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 \text{ possibilidades}$
4. Cores: Essa é a nossa variável desconhecida. Vamos chamá-la de $x$.

Montando a equação

Agora, multiplicamos todas as possibilidades para encontrar o total de configurações do carro: $\text{Total} = \text{Modelos} \times \text{Motores} \times \text{Opcionais} \times \text{Cores}$ $\text{Total} = 7 \times 2 \times 8 \times x$ $\text{Total} = 112x$

O enunciado afirma que a montadora oferta mais de $1000$ configurações diferentes. Portanto, precisamos montar a seguinte inequação: $112x > 1000$

Isolando o $x$, temos: $x > \frac{1000}{112}$ $x > 8,92...$

Como a quantidade de cores deve ser, obrigatoriamente, um número inteiro (não existe "meia cor" disponível no catálogo), o menor número inteiro que é maior que $8,92$ é o $9$.

Portanto, a montadora deverá disponibilizar, no mínimo, $9$ cores para garantir que existam mais de $1000$ configurações diferentes de carros.