Questão 150 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo o Problema

A questão nos fornece a função que descreve o lucro da fábrica em relação à quantidade de bonés por pacote: $L(x) = -x^2 + 12x - 20$ Onde $L(x)$ é o lucro e $x$ é a quantidade de bonés. O nosso objetivo é descobrir qual deve ser o valor de $x$ para que o lucro seja o maior possível (lucro máximo).

A Função Quadrática e o Vértice da Parábola

A expressão dada é uma função do 2º grau (ou função quadrática), que tem o formato geral: $f(x) = ax^2 + bx + c$ No nosso caso, identificamos os seguintes coeficientes:

• $a = -1$
• $b = 12$
• $c = -20$

Como o coeficiente $a$ é negativo ($a < 0$), o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Isso significa que a parábola sobe até atingir um ponto mais alto e depois desce. Esse ponto mais alto é chamado de vértice da parábola, e ele representa exatamente o ponto de máximo da função.

O vértice possui duas coordenadas: $(x_v, y_v)$.

• O $x_v$ ($x$ do vértice) indica quem gera o valor máximo (no nosso caso, a quantidade de bonés).
• O $y_v$ ($y$ do vértice) indica qual é esse valor máximo (no nosso caso, o valor do lucro máximo).

Como a questão pergunta a quantidade de bonés para obter o lucro máximo, precisamos calcular apenas o $x_v$.

Calculando a Quantidade Ideal

A fórmula para encontrar a coordenada $x$ do vértice é: $x_v = \frac{-b}{2a}$

Substituindo os valores de $a$ e $b$ que identificamos anteriormente na fórmula, temos: $x_v = \frac{-12}{2 \cdot (-1)}$ $x_v = \frac{-12}{-2}$ $x_v = 6$

Conclusão

O resultado nos mostra que, para que a fábrica obtenha o maior lucro possível, cada pacote deve conter exatamente $6$ bonés.

Portanto, a alternativa correta é a B.