Questão 169 do ENEM 2019 — Matemática

O objetivo da pessoa é que o valor inicialmente aplicado duplique. Para isso, precisamos calcular o tempo necessário para que esse capital dobre de valor sob o regime de juros compostos.

A fórmula do montante em juros compostos é dada por: $M = C(1 + i)^t$

Onde:

• $M$ é o montante final (o dobro do capital inicial, ou seja, $2C$);
• $C$ é o capital inicial (R$ 200,00, mas podemos usar apenas $C$ para facilitar, já que ele será cancelado);
• $i$ é a taxa de juros ($5\%$ ao mês, ou seja, $0,05$);
• $t$ é o tempo em meses.

Substituindo as informações na fórmula, temos: $2C = C(1 + 0,05)^t$

Podemos dividir ambos os lados da equação por $C$: $2 = (1,05)^t$

Para resolver essa equação exponencial e encontrar o valor de $t$, aplicamos o logaritmo na base 10 em ambos os lados: $\log 2 = \log(1,05)^t$

Utilizando a propriedade do logaritmo para potências (o expoente "tomba" multiplicando), a equação fica: $\log 2 = t \cdot \log 1,05$

O enunciado nos fornece as aproximações $\log 2 = 0,30$ e $\log 1,05 = 0,02$. Substituindo esses valores: $0,30 = t \cdot 0,02$

Isolando o tempo $t$: $t = \frac{0,30}{0,02}$ $t = \frac{30}{2} = 15 \text{ meses}$

Isso significa que o investimento levará exatamente $15$ meses para duplicar de valor.

Como a pessoa deseja atingir seu objetivo no período de carência e busca a menor carência possível que atenda a essa condição, ela deve escolher um plano cuja carência seja de pelo menos $15$ meses. Analisando as opções disponíveis:

• Plano A: $10$ meses (não atinge o objetivo)
• Plano B: $15$ meses (atinge o objetivo no tempo exato)
• Plano C: $20$ meses (atinge o objetivo, mas a carência é maior que a necessária)
• Plano D: $28$ meses
• Plano E: $40$ meses

Portanto, o plano ideal é o Plano B.