Questão 136 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar as fórmulas de volume e de área lateral de um cilindro circular reto com as informações dadas no enunciado.

Lembrando as fórmulas básicas para um cilindro de raio da base $r$ e altura $h$:

• Volume ($V_{cilindro}$): é a área da base multiplicada pela altura, ou seja, $V_{cilindro} = \pi r^2 h$.
• Área Lateral ($A_L$): é o comprimento da circunferência da base multiplicado pela altura, ou seja, $A_L = 2\pi r h$.

Analisando o primeiro recipiente

O primeiro recipiente tem raio $r$ e vamos chamar sua altura de $h_1$. O enunciado diz que ele comporta $\frac{4}{9}$ do volume total $V$. Assim, podemos escrever: $V_1 = \pi r^2 h_1 = \frac{4}{9}V$

Isolando o volume total $V$ nessa equação, temos: $V = \frac{9}{4} \pi r^2 h_1$

Analisando o segundo recipiente

O novo recipiente tem raio $R$ e vamos chamar sua altura de $h_2$. Ele comporta exatamente o volume $V$, então: $V_2 = \pi R^2 h_2 = V$

Além disso, a questão afirma que a área lateral do segundo recipiente é igual à do primeiro. Igualando as duas áreas laterais, temos: $2\pi R h_2 = 2\pi r h_1$

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $2\pi$: $R h_2 = r h_1$

Isolando a altura $h_2$ do novo recipiente, obtemos: $h_2 = \frac{r h_1}{R}$

Encontrando a razão entre os raios

Agora, vamos substituir a expressão de $h_2$ na equação do volume do segundo recipiente: $V = \pi R^2 \left( \frac{r h_1}{R} \right)$

Simplificando o $R$ no numerador e no denominador: $V = \pi R r h_1$

Nós já sabemos, a partir do primeiro recipiente, que $V = \frac{9}{4} \pi r^2 h_1$. Como as duas expressões representam o mesmo volume $V$, podemos igualá-las: $\pi R r h_1 = \frac{9}{4} \pi r^2 h_1$

Como $\pi$, $r$ e $h_1$ são valores diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por $\pi r h_1$: $R = \frac{9}{4} r$

Por fim, para encontrar a razão $\frac{R}{r}$ pedida na questão, basta passar o $r$ dividindo: $\frac{R}{r} = \frac{9}{4}$

Logo, a razão entre os raios dos dois recipientes é $\frac{9}{4}$.