Questão 159 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro determinar a área útil do terreno onde as mudas podem ser plantadas, respeitando o distanciamento mínimo das laterais.

Determinando a área útil de plantio

O terreno tem dimensões de $14 \text{ m}$ por $11,5 \text{ m}$. Como as mudas devem ficar a uma distância mínima de $3 \text{ m}$ das laterais, devemos subtrair $3 \text{ m}$ de cada lado (ou seja, $6 \text{ m}$ no total para cada dimensão).

• Comprimento útil: $14 \text{ m} - 6 \text{ m} = 8 \text{ m}$
• Largura útil: $11,5 \text{ m} - 6 \text{ m} = 5,5 \text{ m}$

Portanto, todas as mudas devem ser plantadas dentro de um retângulo imaginário de $8 \text{ m} \times 5,5 \text{ m}$.

Analisando a disposição das mudas nas filas

O enunciado afirma que as filas devem ser alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão (o lado de $14 \text{ m}$). Isso significa que as filas serão dispostas ao longo do comprimento útil de $8 \text{ m}$.

Em uma única fila de $8 \text{ m}$, mantendo o espaçamento mínimo de $3 \text{ m}$ entre as mudas, podemos posicioná-las nas marcas de $0 \text{ m}$, $3 \text{ m}$ e $6 \text{ m}$. Assim, conseguimos plantar $3$ mudas por fila. (A próxima muda estaria na marca de $9 \text{ m}$, o que ultrapassa o limite de $8 \text{ m}$).

Maximizando o número de filas

Se organizássemos as filas em um formato de grade retangular (uma muda exatamente atrás da outra), a distância entre as filas também precisaria ser de $3 \text{ m}$. No espaço de $5,5 \text{ m}$ de largura, caberiam apenas $2$ filas (nas marcas de $0 \text{ m}$ e $3 \text{ m}$), totalizando $3 \times 2 = 6$ mudas.

No entanto, o problema sugere que é possível plantar um número maior de mudas. Para otimizar o espaço, devemos usar uma disposição intercalada (formando triângulos equiláteros entre as mudas de filas adjacentes).

Nessa configuração, a distância entre as filas corresponde à altura ($h$) de um triângulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$. Podemos calcular essa altura usando a fórmula: $h = \frac{l\sqrt{3}}{2}$

Substituindo $l = 3 \text{ m}$ e adotando a aproximação $\sqrt{3} \approx 1,73$: $h = \frac{3 \times 1,73}{2} = \frac{5,19}{2} \approx 2,595 \text{ m}$

Agora, vamos verificar quantas filas cabem na largura útil de $5,5 \text{ m}$ com esse novo espaçamento:

• 1ª fila: posição $0 \text{ m}$
• 2ª fila: posição $2,595 \text{ m}$
• 3ª fila: posição $2 \times 2,595 \text{ m} = 5,19 \text{ m}$

Como $5,19 \text{ m}$ é menor que o limite de $5,5 \text{ m}$, conseguimos acomodar $3$ filas!

Contagem total de mudas

Vamos verificar se a fila do meio (intercalada) também comporta $3$ mudas dentro do comprimento de $8 \text{ m}$. Como ela é deslocada horizontalmente pela metade do espaçamento ($1,5 \text{ m}$ para formar o triângulo), as posições das mudas nessa fila serão:

• $0 \text{ m} + 1,5 \text{ m} = 1,5 \text{ m}$
• $3 \text{ m} + 1,5 \text{ m} = 4,5 \text{ m}$
• $6 \text{ m} + 1,5 \text{ m} = 7,5 \text{ m}$

Como a última muda está na posição $7,5 \text{ m}$ (que é menor que o limite de $8 \text{ m}$), a segunda fila também comporta perfeitamente $3$ mudas.

Temos então $3$ filas, cada uma com $3$ mudas: $\text{Total de mudas} = 3 + 3 + 3 = 9 \text{ mudas}$