Questão 171 do ENEM 2018 — Matemática

Para calcular a área do terreno em forma de pentágono, podemos dividi-lo em duas figuras geométricas mais simples utilizando a diagonal $AD$. Ao traçar essa diagonal, o pentágono $ABCDE$ é separado em um quadrilátero $ABCD$ e um triângulo $ADE$.

Área do quadrilátero $ABCD$

O enunciado nos informa que a diagonal $AD$ é paralela ao lado $BC$. Um quadrilátero que possui um par de lados paralelos é classificado como um trapézio. Portanto, $ABCD$ é um trapézio onde:

• A base maior é $AD = 50\text{ m}$.
• A base menor é $BC = 29\text{ m}$.
• A altura do trapézio é a distância entre as bases paralelas. Como a distância do ponto $B$ à reta $AD$ é de $8\text{ m}$, a altura $h_1$ é igual a $8\text{ m}$.

A área de um trapézio é calculada pela fórmula: $A_{\text{trapézio}} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$

Substituindo os valores que temos: $A_{ABCD} = \frac{(50 + 29) \cdot 8}{2}$ $A_{ABCD} = \frac{79 \cdot 8}{2}$ $A_{ABCD} = 79 \cdot 4$ $A_{ABCD} = 316\text{ m}^2$

Área do triângulo $ADE$

Agora, vamos analisar a parte inferior do terreno, que é o triângulo $ADE$. Para calcular sua área, precisamos de uma base e da altura relativa a essa base:

• Podemos usar a diagonal $AD$ como base, logo, a base mede $50\text{ m}$.
• A altura relativa a essa base é a distância do vértice oposto ($E$) até a reta que contém a base ($AD$). O enunciado nos diz que a distância do ponto $E$ a $AD$ é de $20\text{ m}$. Portanto, a altura $h_2$ é $20\text{ m}$.

A área de um triângulo é dada por: $A_{\text{triângulo}} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$

Substituindo os valores: $A_{ADE} = \frac{50 \cdot 20}{2}$ $A_{ADE} = \frac{1000}{2}$ $A_{ADE} = 500\text{ m}^2$

Área total do terreno

A área total do terreno será a soma das áreas do trapézio e do triângulo que acabamos de calcular: $A_{\text{total}} = A_{ABCD} + A_{ADE}$ $A_{\text{total}} = 316 + 500$ $A_{\text{total}} = 816\text{ m}^2$

Assim, a área do terreno é de $816\text{ m}^2$.