Questão 174 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos encontrar a combinação de peças que atenda a todas as condições do enunciado usando a menor quantidade total de peças possível.

Vamos primeiro organizar as informações que temos:

• O comprimento total do armário deve ser exatamente $150\text{ cm}$.
• As larguras disponíveis são: $25\text{ cm}$, $35\text{ cm}$, $40\text{ cm}$, $60\text{ cm}$ e $75\text{ cm}$.
• A pessoa deve comprar pelo menos dois tipos diferentes de peças.
• O objetivo é usar a menor quantidade de peças no total.

Como queremos a menor quantidade de peças, a estratégia mais inteligente é tentar usar as peças mais largas primeiro.

Testando com 2 peças

Vamos verificar se é possível montar o armário com apenas $2$ peças. Para que a soma de duas peças resulte em $150\text{ cm}$, a única possibilidade seria usar duas peças de $75\text{ cm}$, pois $75 + 75 = 150\text{ cm}$. Qualquer outra combinação de duas peças daria um valor menor (por exemplo, a segunda maior combinação seria $75 + 60 = 135\text{ cm}$).

No entanto, o enunciado exige que a pessoa compre pelo menos dois tipos de peças com larguras diferentes. Se usarmos duas peças de $75\text{ cm}$, estaremos usando apenas um tipo de peça (a peça V). Portanto, é impossível atingir o objetivo com apenas $2$ peças.

Testando com 3 peças

Já sabemos que precisaremos de pelo menos $3$ peças. Vamos tentar encontrar uma combinação válida.

Continuando com a nossa estratégia de usar as peças maiores, vamos incluir uma peça de $75\text{ cm}$. Se usarmos uma peça de $75\text{ cm}$, ainda precisaremos preencher o restante do comprimento: $150 - 75 = 75\text{ cm}$

Agora, precisamos encontrar duas peças, dentre as opções disponíveis, que somem exatamente $75\text{ cm}$. Observando as larguras, notamos que: $35\text{ cm} + 40\text{ cm} = 75\text{ cm}$

Isso significa que podemos usar a seguinte combinação de $3$ peças:

• $1$ peça de $75\text{ cm}$ (peça V)
• $1$ peça de $40\text{ cm}$ (peça III)
• $1$ peça de $35\text{ cm}$ (peça II)

Vamos conferir se essa combinação atende a todas as regras:

• A soma é $75 + 40 + 35 = 150\text{ cm}$? Sim.
• Tem pelo menos dois tipos diferentes de peças? Sim, usamos três tipos diferentes.

Como provamos que não é possível fazer isso com $2$ peças, a menor quantidade de peças que a pessoa deverá comprar para atingir seu objetivo é, de fato, $3$.