Questão 164 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir a relação de massa entre os itens da mala. Como não temos o peso exato de cada peça, vamos usar a álgebra para encontrar uma "taxa de troca" entre elas.

Vamos chamar as massas de cada item de:

• $x$: massa de uma camiseta
• $y$: massa de uma calça
• $z$: massa de um sapato

A partir do enunciado, podemos montar duas equações baseadas nas viagens anteriores, sabendo que a mala sempre atinge o limite de $10 \text{ kg}$:

Viagem I: $12x + 4y + 3z = 10$

Viagem II: $18x + 3y + 2z = 10$

O nosso objetivo é descobrir a quantidade máxima de camisetas ($k$) para a nova configuração da mala, que terá $2$ calças e $1$ sapato. Ou seja, queremos encontrar o valor de $k$ na equação: $kx + 2y + 1z = 10$

Como temos três incógnitas e apenas duas equações, não é possível descobrir o peso exato de cada item (o sistema é indeterminado). No entanto, podemos descobrir a relação entre eles comparando as duas viagens.

Vamos subtrair a equação da Viagem I da equação da Viagem II para ver o que mudou: $(18x + 3y + 2z) - (12x + 4y + 3z) = 10 - 10$ $18x - 12x + 3y - 4y + 2z - 3z = 0$ $6x - y - z = 0$ $y + z = 6x$

O que essa equação nos diz? Ela revela que a massa de $1$ calça mais $1$ sapato ($y + z$) é exatamente igual à massa de $6$ camisetas ($6x$). Essa é a nossa "taxa de câmbio"!

Agora, vamos olhar para a configuração da Viagem II, que é a mais próxima do que queremos: $18x + 3y + 2z = 10$

Nós queremos levar apenas $2$ calças e $1$ sapato. Então, podemos "desmembrar" a equação da Viagem II para separar $1$ calça e $1$ sapato que estão sobrando: $18x + (1y + 1z) + 2y + 1z = 10$

Como já descobrimos que $1y + 1z = 6x$, podemos substituir esse conjunto excedente por camisetas: $18x + (6x) + 2y + 1z = 10$ $24x + 2y + 1z = 10$

Isso significa que, ao levar $2$ calças e $1$ sapato, o espaço e o peso restantes na mala permitem levar exatamente $24$ camisetas.