Questão 179 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como as escolhas dos materiais para a fantasia são feitas e como combiná-las matematicamente.

Entendendo as Escolhas

A pessoa que produzirá a fantasia precisa tomar duas decisões independentes:

1. Escolher $2$ tipos de tecidos dentre os $6$ disponíveis.
2. Escolher $5$ tipos de pedras ornamentais dentre as $15$ disponíveis.

A primeira pergunta que devemos fazer em problemas de contagem é: a ordem de escolha importa? Se a pessoa escolher o "tecido A" e depois o "tecido B", ou escolher o "tecido B" e depois o "tecido A", o resultado final na fantasia será exatamente o mesmo. Como a ordem não altera o grupo formado, estamos lidando com um problema de Combinação Simples.

Aplicando a Fórmula de Combinação

A fórmula da combinação simples para escolher $p$ elementos de um total de $n$ elementos é dada por: $C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Vamos aplicar essa fórmula para cada uma das etapas:

1. Escolha dos tecidos: Temos um total de $n = 6$ tecidos e queremos escolher $p = 2$. $C_{6,2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!}$

2. Escolha das pedras ornamentais: Temos um total de $n = 15$ pedras e queremos escolher $p = 5$. $C_{15,5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!}$

O Princípio Multiplicativo

Agora que sabemos de quantas formas podemos escolher os tecidos e as pedras separadamente, precisamos juntar essas informações. A fantasia será composta pelos tecidos E pelas pedras.

Na análise combinatória, a conjunção "E" (eventos simultâneos ou sucessivos) indica que devemos usar o Princípio Multiplicativo (ou Princípio Fundamental da Contagem), ou seja, devemos multiplicar as possibilidades de cada etapa.

Portanto, a quantidade total de fantasias diferentes que podem ser produzidas é o produto das duas combinações: $\text{Total} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \cdot \frac{15!}{5! \cdot 10!}$

Lembrando que a ordem dos fatores no denominador não altera o resultado ($2! \cdot 4!$ é o mesmo que $4! \cdot 2!$), podemos reescrever a expressão exatamente como aparece na alternativa correta: $\frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{15!}{10!5!}$

Cuidado com a armadilha: A alternativa B traz a mesma expressão, mas com um sinal de soma ($+$). Somaríamos apenas se a pessoa fosse usar tecidos OU pedras, o que não é o caso, pois ela usará ambos para compor uma única fantasia.