Questão 150 do ENEM 2019 — Matemática

Para descobrir o valor à vista do produto, precisamos entender que o dinheiro tem valor no tempo. Os pagamentos de R$ 202,00 e R$ 204,02 já embutem os juros compostos de $1\%$ ao mês. O valor à vista, que constará na nota fiscal, é o que chamamos na matemática financeira de Valor Presente ($VP$).

Para encontrar esse valor, devemos "voltar no tempo", ou seja, retirar os juros de cada parcela. Fazemos isso usando a fórmula de descapitalização dos juros compostos: $VP = \frac{VF}{(1 + i)^n}$ Onde:

• $VF$ é o Valor Futuro (o valor da parcela);
• $i$ é a taxa de juros (em formato decimal);
• $n$ é o tempo (número de meses).

A taxa de juros dada é de $1\%$ ao mês, o que equivale a $i = 0,01$. O fator de atualização será $1 + 0,01 = 1,01$.

Vamos calcular o valor presente de cada parcela separadamente:

Primeira Parcela

O pagamento de R$ 202,00 ocorre $1$ mês após a compra ($n = 1$). $VP_1 = \frac{202,00}{(1,01)^1}$ $VP_1 = \frac{202,00}{1,01} = 200,00$ Isso significa que R$ 200,00 no momento da compra equivalem a R$ 202,00 daqui a um mês.

Segunda Parcela

O pagamento de R$ 204,02 ocorre $2$ meses após a compra ($n = 2$). $VP_2 = \frac{204,02}{(1,01)^2}$ Primeiro, calculamos o quadrado de $1,01$: $1,01 \times 1,01 = 1,0201$ Agora, dividimos o valor da parcela pelo fator encontrado: $VP_2 = \frac{204,02}{1,0201} = 200,00$ Ou seja, R$ 200,00 no momento da compra equivalem a R$ 204,02 daqui a dois meses.

Valor à vista total

O valor original do produto é simplesmente a soma dos valores presentes (sem juros) das duas parcelas: $VP_{\text{total}} = VP_1 + VP_2$ $VP_{\text{total}} = 200,00 + 200,00 = 400,00$

Portanto, o valor à vista que deverá constar na nota fiscal é de R$ 400,00.