Questão 151 do ENEM 2018 — Matemática

ENEM 2018Matemática2ª aplicação

Uma pessoa tem massa corporal de 167 kg. Sob orientação de um nutricionista, submeteu-se a um regime alimentar, em que se projeta que a perda de quilos mensais seja inferior a 5 kg. Após iniciar o regime, observou-se, nos três primeiros meses, uma perda de 4 kg por mês, e nos quatro meses seguintes, uma perda mensal de 3 kg. Daí em diante, segundo as recomendações do nutricionista, deveria haver uma perda mensal fixa em cada um dos meses subsequentes, objetivando alcançar a massa corporal de 71 kg ao final do regime.

Segundo as projeções e recomendações do nutricionista, para alcançar seu objetivo, a duração mínima, em mês, que essa pessoa deverá manter o seu regime será de
A
15.
B
20.
C
21.
22.
Resposta correta
E
25.
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

Para resolvermos esse problema, precisamos primeiro entender qual é o objetivo total da dieta e quanto já foi alcançado na primeira etapa.

1. Calculando a perda de massa total necessária

A pessoa começa com uma massa corporal de 167 kg167\text{ kg} e deseja atingir 71 kg71\text{ kg}. A quantidade total de massa que ela precisa perder é a diferença entre esses dois valores: 167−71=96 kg167 - 71 = 96\text{ kg}

2. Analisando os primeiros meses de regime

O enunciado nos diz que o regime já está em andamento há 77 meses, divididos em duas etapas:

  • Nos 33 primeiros meses, a perda foi de 4 kg4\text{ kg} por mês: 3×4=12 kg3 \times 4 = 12\text{ kg}.
  • Nos 44 meses seguintes, a perda foi de 3 kg3\text{ kg} por mês: 4×3=12 kg4 \times 3 = 12\text{ kg}.

Somando essas duas etapas, a pessoa já perdeu: 12+12=24 kg12 + 12 = 24\text{ kg}

Como o objetivo total é perder 96 kg96\text{ kg}, ainda falta perder: 96−24=72 kg96 - 24 = 72\text{ kg}

3. Determinando o tempo restante

Daqui em diante, a pessoa terá uma perda mensal fixa. Vamos chamar o número de meses restantes de nn. A perda mensal nessa nova fase será dada pela razão entre a massa que falta perder e o número de meses: Perda mensal=72n\text{Perda mensal} = \frac{72}{n}

A recomendação do nutricionista é que a perda mensal seja inferior a 5 kg5\text{ kg}. Portanto, podemos montar a seguinte inequação: 72n<5\frac{72}{n} < 5

Multiplicando ambos os lados por nn (que é um número positivo de meses) e dividindo por 55, temos: n>725n > \frac{72}{5} n>14,4n > 14,4

Como o número de meses deve ser um valor inteiro e queremos a duração mínima do regime, precisamos encontrar o menor número inteiro que seja maior que 14,414,4. Esse número é 1515.

Isso significa que a pessoa precisará de, no mínimo, mais 1515 meses para perder os 72 kg72\text{ kg} restantes (o que daria uma perda de 72÷15=4,8 kg72 \div 15 = 4,8\text{ kg} por mês, respeitando a regra de ser inferior a 5 kg5\text{ kg}).

4. Conclusão

A questão pede a duração mínima total do regime. Para isso, somamos os meses que já se passaram com os meses que ainda virão: Durac¸a˜o total=7 (meses iniciais)+15 (meses restantes)=22 meses\text{Duração total} = 7\text{ (meses iniciais)} + 15\text{ (meses restantes)} = 22\text{ meses}

Portanto, a duração mínima que essa pessoa deverá manter o seu regime será de 2222 meses.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2018 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.