Questão 175 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos analisar a situação em duas partes: antes e depois da abertura do segundo registro.

1. O cenário inicial

A capacidade total da piscina é de $100\text{ m}^3$. O volume de água na piscina em função do tempo é dado por: $V(t) = 20 + 5t$

Primeiro, vamos descobrir qual era o tempo de enchimento inicialmente previsto. Para isso, igualamos a função do volume à capacidade total da piscina: $20 + 5t = 100$ $5t = 100 - 20$ $5t = 80$ $t = 16\text{ horas}$

Ou seja, se apenas o primeiro registro ficasse aberto, a piscina estaria cheia às $16$ horas.

2. O momento da mudança

Às $10$ horas, um novo registro é aberto. Vamos calcular qual era o volume de água na piscina exatamente nesse instante: $V(10) = 20 + 5 \cdot 10$ $V(10) = 20 + 50 = 70\text{ m}^3$

Como a piscina comporta $100\text{ m}^3$, o volume que ainda falta encher a partir das $10$ horas é: $100 - 70 = 30\text{ m}^3$

3. O novo tempo de enchimento

O enunciado nos diz que a abertura do novo registro diminuiu o tempo total de enchimento em $4$ horas. Como o tempo previsto inicialmente era de $16$ horas, o novo tempo total será: $16 - 4 = 12\text{ horas}$

Isso significa que a piscina terminará de encher às $12$ horas. Como o segundo registro foi aberto às $10$ horas, o tempo que os dois registros funcionarão juntos para encher o restante da piscina é de: $12 - 10 = 2\text{ horas}$

4. A vazão do novo registro

Nessas $2$ horas finais, os dois registros juntos precisam dar conta do volume restante, que é de $30\text{ m}^3$. A vazão conjunta (total) será o volume dividido pelo tempo: $\text{Vazão total} = \frac{30\text{ m}^3}{2\text{ horas}} = 15\text{ m}^3/\text{h}$

Sabemos pela função inicial $V(t) = 20 + 5t$ que a vazão do primeiro registro é de $5\text{ m}^3/\text{h}$ (é a taxa de variação do volume em relação ao tempo). Sendo assim, se a vazão total é a soma das vazões dos dois registros, temos: $\text{Vazão}_1 + \text{Vazão}_2 = 15$ $5 + \text{Vazão}_2 = 15$ $\text{Vazão}_2 = 10\text{ m}^3/\text{h}$

Portanto, a vazão do novo registro é de $10\text{ m}^3/\text{h}$.