Questão 170 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, nosso objetivo é encontrar quais das cinco opções de piscina possuem o volume igual ou mais próximo possível do volume da piscina original. Além disso, o enunciado pede que as duas piscinas escolhidas tenham formatos diferentes.

Volume da piscina original

A piscina existente tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo. O volume desse tipo de sólido é calculado multiplicando-se suas três dimensões: comprimento, largura e profundidade.

$V_{\text{original}} = 50 \times 25 \times 3 = 3750 \text{ m}^3$

Agora, precisamos calcular o volume de cada um dos cinco projetos e ver quais se aproximam mais de $3750 \text{ m}^3$.

Avaliando as piscinas cilíndricas

O volume de um cilindro circular reto é dado pela área da base multiplicada pela altura (ou profundidade, neste caso): $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot R^2 \cdot H$

Lembre-se de que o raio ($R$) é a metade do diâmetro e que o enunciado pede para usarmos $\pi \approx 3$.

Piscina cilíndrica I ($C_1$):

• Diâmetro = $50 \text{ m} \implies$ Raio $R = 25 \text{ m}$
• Profundidade $H = 2 \text{ m}$ $V_{C_1} = 3 \cdot (25)^2 \cdot 2 = 3 \cdot 625 \cdot 2 = 3750 \text{ m}^3$ (Diferença para o original: $0 \text{ m}^3$)

Piscina cilíndrica II ($C_2$):

• Diâmetro = $40 \text{ m} \implies$ Raio $R = 20 \text{ m}$
• Profundidade $H = 3 \text{ m}$ $V_{C_2} = 3 \cdot (20)^2 \cdot 3 = 3 \cdot 400 \cdot 3 = 3600 \text{ m}^3$ (Diferença para o original: $150 \text{ m}^3$)

Piscina cilíndrica III ($C_3$):

• Diâmetro = $46 \text{ m} \implies$ Raio $R = 23 \text{ m}$
• Profundidade $H = 2,5 \text{ m}$ $V_{C_3} = 3 \cdot (23)^2 \cdot 2,5 = 3 \cdot 529 \cdot 2,5 = 3967,5 \text{ m}^3$ (Diferença para o original: $217,5 \text{ m}^3$)

Avaliando as piscinas em formato de paralelepípedo

Para essas piscinas, voltamos a usar a multiplicação das três dimensões.

Piscina em formato de paralelepípedo I ($P_1$):

• Dimensões: $62 \text{ m}$, $24 \text{ m}$ e $2 \text{ m}$ $V_{P_1} = 62 \cdot 24 \cdot 2 = 2976 \text{ m}^3$ (Diferença para o original: $774 \text{ m}^3$)

Piscina em formato de paralelepípedo II ($P_2$):

• Dimensões: $64 \text{ m}$, $30 \text{ m}$ e $2 \text{ m}$ $V_{P_2} = 64 \cdot 30 \cdot 2 = 3840 \text{ m}^3$ (Diferença para o original: $90 \text{ m}^3$)

Conclusão

Comparando as diferenças em relação ao volume original de $3750 \text{ m}^3$, temos:

• $C_1$: diferença de $0 \text{ m}^3$
• $P_2$: diferença de $90 \text{ m}^3$
• $C_2$: diferença de $150 \text{ m}^3$
• $C_3$: diferença de $217,5 \text{ m}^3$
• $P_1$: diferença de $774 \text{ m}^3$

Os dois projetos com volumes mais próximos ao da piscina existente são $C_1$ e $P_2$. Além disso, eles satisfazem a condição do enunciado de terem formatos diferentes entre si (um é cilíndrico e o outro é um paralelepípedo).

Portanto, o proprietário deverá escolher as piscinas $C_1$ e $P_2$.