Questão 160 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender a relação fundamental entre volume, vazão e tempo. A vazão nada mais é do que a "velocidade" com que a água enche a piscina, ou seja, o volume de água despejado dividido pelo tempo gasto. Podemos escrever isso matematicamente como:

$\text{Vazão} = \frac{\text{Volume}}{\text{Tempo}}$

O que também nos permite calcular o tempo isolando a variável:

$\text{Tempo} = \frac{\text{Volume}}{\text{Vazão}}$

Analisando a primeira piscina

Sabemos que a primeira piscina tem um volume $V_1 = 2.500.000 \text{ L}$ e o sistema tem uma vazão $Z_1 = 6.000 \text{ L/min}$. Vamos descobrir quanto tempo ($t_1$) leva para enchê-la:

$t_1 = \frac{2.500.000}{6.000}$

Podemos simplificar cortando três zeros do numerador e do denominador:

$t_1 = \frac{2.500}{6} \text{ minutos}$

Dica de ouro: Não faça essa divisão agora! O resultado seria uma dízima periódica ($416,66...$), o que complicaria as contas futuras. Deixe em forma de fração, pois problemas bem elaborados costumam permitir simplificações mais à frente.

Analisando a segunda piscina

O enunciado nos diz que o tempo para encher a segunda piscina ($t_2$) é $20\%$ maior que o tempo da primeira. Aumentar um valor em $20\%$ é o mesmo que multiplicá-lo por $1,2$. Para facilitar nossa vida com a fração anterior, vamos transformar $1,2$ em fração: $1,2 = \frac{12}{10}$, que simplificando por $2$ fica $\frac{6}{5}$.

Agora, vamos calcular o novo tempo ($t_2$):

$t_2 = \frac{6}{5} \cdot t_1$

$t_2 = \frac{6}{5} \cdot \frac{2.500}{6}$

Veja como a matemática nos recompensa por termos tido paciência! Podemos cortar o $6$ do numerador com o $6$ do denominador:

$t_2 = \frac{2.500}{5} = 500 \text{ minutos}$

Chegamos a um tempo exato e redondo, sem precisar de calculadora.

Calculando a nova vazão

Agora que sabemos que a segunda piscina tem um volume $V_2 = 2.750.000 \text{ L}$ e que o tempo para enchê-la será $t_2 = 500 \text{ minutos}$, basta aplicar a fórmula da vazão novamente para encontrar a vazão do segundo sistema ($Z_2$):

$Z_2 = \frac{V_2}{t_2}$

$Z_2 = \frac{2.750.000}{500}$

Cortando dois zeros em cima e embaixo, temos:

$Z_2 = \frac{27.500}{5}$

Para dividir mentalmente por $5$, você pode dividir $275$ por $5$, que dá $55$, e depois acrescentar os dois zeros restantes:

$Z_2 = 5.500 \text{ L/min}$

Portanto, a vazão do sistema de abastecimento da segunda piscina deve ser de $5.500$ litros por minuto.