Questão 180 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar o comprimento do arco $PQ$ da circunferência interna, que é o trajeto percorrido pela pessoa.

Relação entre Ângulo Inscrito e Ângulo Central

O enunciado nos diz que o ângulo $P\widehat{R}Q$ mede $\frac{\pi}{5}$ radianos. Como o vértice $R$ desse ângulo está sobre a linha da circunferência, chamamos esse ângulo de ângulo inscrito.

Na geometria da circunferência, existe uma propriedade fundamental: a medida do ângulo central (aquele cujo vértice está no centro da circunferência) é sempre o dobro da medida do ângulo inscrito que enxerga o mesmo arco.

Seja $O$ o centro da circunferência. O ângulo central $P\widehat{O}Q$ enxerga o mesmo arco $PQ$ que o ângulo inscrito $P\widehat{R}Q$. Portanto, podemos calcular a medida do ângulo central ($\theta$) assim:

$\theta = 2 \cdot P\widehat{R}Q$ $\theta = 2 \cdot \frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{5} \text{ radianos}$

Cálculo do Comprimento do Arco

Sabemos que o comprimento de um arco ($s$) em uma circunferência é dado pelo produto do raio ($r$) pelo ângulo central ($\theta$) medido em radianos:

$s = \theta \cdot r$

O enunciado nos forneceu o raio da circunferência interna: $r = 0,3 \text{ km}$. Substituindo os valores que temos na fórmula:

$s = \frac{2\pi}{5} \cdot 0,3$

Para facilitar as contas, podemos transformar o número decimal em fração ($0,3 = \frac{3}{10}$):

$s = \frac{2\pi}{5} \cdot \frac{3}{10}$ $s = \frac{6\pi}{50}$

Para transformar essa fração de volta em um número decimal, basta multiplicar o numerador e o denominador por $2$, obtendo uma base $100$:

$s = \frac{12\pi}{100} = 0,12\pi \text{ km}$

Como a pessoa vai de $P$ a $Q$ no sentido anti-horário (o caminho mais curto na disposição da figura, já que $RP$ é diâmetro e o ângulo é agudo), a distância percorrida é exatamente o comprimento desse arco menor.

Portanto, a distância percorrida é de $0,12\pi \text{ km}$.