Questão 158 do ENEM 2012 — Matemática

A pergunta não é só qual pizza compensa mais, e sim qual jovem argumentou corretamente. Por isso precisamos medir o custo-benefício de verdade e depois confrontar com o que cada um disse.

Medindo o custo-benefício

Custo-benefício aqui é quanto de pizza (área) você recebe por real gasto. Como não há desperdício, comparamos a área por real de cada pizza inteira. A área do círculo é $A = \pi r^2$, com raio igual à metade do diâmetro.

Pizza média (diâmetro $30$ cm, raio $15$ cm, R$ 24,00): $A = \pi \cdot 15^2 = 225\pi \text{ cm}^2$ $\frac{\text{área}}{\text{preço}} = \frac{225\pi}{24} \approx 9,4\pi \text{ cm}^2 \text{ por real}$

Pizza grande (diâmetro $40$ cm, raio $20$ cm, R$ 32,00): $A = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \text{ cm}^2$ $\frac{\text{área}}{\text{preço}} = \frac{400\pi}{32} = 12,5\pi \text{ cm}^2 \text{ por real}$

A pizza grande entrega mais área por real ($12,5\pi$ contra $9,4\pi$): ela tem melhor custo-benefício.

Comparando com o que cada um disse

Agora o passo que a questão realmente exige: o melhor argumento é o que chega à conclusão certa pelo motivo certo.

• Alan: "A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é superior à área da fatia da pizza média." Vamos conferir a área de cada fatia (área total dividida pelo número de fatias): $\text{fatia média} = \frac{225\pi}{6} = 37,5\pi \text{ cm}^2 \qquad \text{fatia grande} = \frac{400\pi}{8} = 50\pi \text{ cm}^2$ A fatia da grande ($50\pi$) é de fato maior que a da média ($37,5\pi$), e como ambas as fatias custam o mesmo (R$ 4,00 cada), receber mais pizza por R$ 4,00 significa melhor custo-benefício. O raciocínio de Alan é verdadeiro e correto.

Por que os outros erram

• Breno conclui o contrário (média melhor) e ainda confunde "maior pedaço" com melhor custo-benefício.
• Cleber acerta que cada fatia sai a R$ 4,00, mas conclui "empate": ele esquece que as fatias têm tamanhos diferentes, então R$ 4,00 compra mais pizza na grande.
• Davidson usa a razão dos diâmetros ($40/30$) igual à dos preços; mas custo-benefício depende da área, que cresce com o quadrado do raio, não linearmente com o diâmetro — a razão certa seria $(40/30)^2$, e por isso a conclusão de empate é falsa.
• Eric afirma que mais fatias, por si só, dá melhor custo-benefício, o que não faz sentido: fatiar mais só reparte a mesma pizza.

Conclusão

O jovem com o melhor argumento é Alan, alternativa A.