Questão 159 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos analisar as duas condições impostas pela prefeitura para a compra das novas lixeiras:

1. A capacidade (volume) da nova lixeira deve ser, no mínimo, $10$ vezes maior que a do modelo atual.
2. O custo unitário da nova lixeira não pode ultrapassar \text{R\} \ 20,00$.

Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Análise da Capacidade (Volume)

O volume $V$ de um cilindro é dado pela fórmula: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Para o modelo atual, temos o raio $r_1 = 10 \text{ cm}$ e a altura $h_1 = 50 \text{ cm}$. Usando a aproximação $\pi = 3$, o volume é: $V_1 = 3 \cdot (10)^2 \cdot 50$ $V_1 = 3 \cdot 100 \cdot 50 = 15.000 \text{ cm}^3$

Para o novo modelo, o enunciado diz que o raio é o triplo do anterior ($r_2 = 3 \cdot 10 = 30 \text{ cm}$) e a altura foi aumentada em $10 \text{ cm}$ ($h_2 = 50 + 10 = 60 \text{ cm}$). O volume será: $V_2 = 3 \cdot (30)^2 \cdot 60$ $V_2 = 3 \cdot 900 \cdot 60 = 162.000 \text{ cm}^3$

Agora, vamos ver quantas vezes a capacidade aumentou: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{162.000}{15.000} = 10,8$

A capacidade da nova lixeira é $10,8$ vezes maior que a do modelo atual. Como $10,8 \ge 10$, a primeira condição foi satisfeita. Isso também já nos permite descartar as alternativas D e E.

Análise do Custo

O custo da lixeira é proporcional à sua área total. Como a lixeira não tem tampa, a área total $A$ é a soma da área da base com a área lateral: $A = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}}$ $A = \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$

Calculando a área para o novo modelo ($r_2 = 30 \text{ cm}$ e $h_2 = 60 \text{ cm}$): $A_{\text{base}} = 3 \cdot (30)^2 = 3 \cdot 900 = 2.700 \text{ cm}^2$ $A_{\text{lateral}} = 2 \cdot 3 \cdot 30 \cdot 60 = 180 \cdot 60 = 10.800 \text{ cm}^2$

Somando as duas partes, temos a área total: $A_{\text{total}} = 2.700 + 10.800 = 13.500 \text{ cm}^2$

O enunciado informa que o custo do material é de \text{R\} \ 0,20$para cada$100 \text{ cm}^2$. Para descobrir o custo total, dividimos a área por$100$e multiplicamos por$0,20$: $\text{Custo} = \left( \frac{13.500}{100} \right) \cdot 0,20$ $\text{Custo} = 135 \cdot 0,20 = 27,00$

O custo de cada nova lixeira ficou em \text{R\} \ 27,00$. Como esse valor ultrapassa o limite de$\text{R$} \ 20,00$ estipulado pela prefeitura, a segunda condição não foi satisfeita.

Portanto, o orçamento foi rejeitado porque o custo de cada lixeira ficou em \text{R\} \ 27,00$.