Uma professora de matemática organizou uma atividade associando um ábaco a três dados de diferentes formatos: um cubo com faces numeradas de 1 a 6, associadas à haste C, um octaedro com faces numeradas de 1 a 8, associadas à haste D, e um dodecaedro com faces numeradas de 1 a 12, associadas à haste U. Inicialmente, as hastes do ábaco encontram-se vazias. As letras C, D e U estão associadas a centenas, dezenas e unidades, respectivamente. A haste UM representa unidades de milhar.
Regras do jogo: são jogados os três dados juntos e, a cada jogada, colocam-se bolinhas nas hastes, correspondendo às quantidades apresentadas nas faces voltadas para cima de cada dado, respeitando a condição “nunca dez”, ou seja, em cada haste podem ficar, no máximo, nove bolinhas. Assim, toda vez que a quantidade de bolinhas em alguma haste for superior a nove, dez delas são retiradas dessa haste e uma bolinha é colocada na haste imediatamente à esquerda. Bolinhas, em quantidades iguais aos números obtidos na face superior dos dados, na segunda jogada, são acrescentadas às hastes correspondentes, que contêm o resultado da primeira jogada.
Iniciada a atividade, um aluno jogou os dados duas vezes. Na primeira vez, as quantidades das faces voltadas para cima foram colocadas nas hastes. Nesta jogada, no cubo, no octaedro e no dodecaedro, as faces voltadas para cima foram, respectivamente, 6, 8 e 11 (Figura 1).
Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas hastes. O resultado está representado no ábaco da Figura 2.
Questão 151 do ENEM 2016 — Matemática
Resolução comentada
O ábaco e as regras descritas funcionam exatamente como o nosso sistema de numeração decimal (base 10). A regra do "nunca dez" é a famosa regra do "vai um" da adição: sempre que juntamos 10 unidades, trocamos por 1 dezena; 10 dezenas viram 1 centena, e assim por diante.
Vamos organizar o raciocínio em três etapas: descobrir o número da primeira jogada, ler o número final no ábaco e, por fim, descobrir o que foi obtido na segunda jogada.
1. O resultado da primeira jogada
O enunciado informa que, na primeira jogada, os valores tirados foram:
- Cubo (Centenas - C):
- Octaedro (Dezenas - D):
- Dodecaedro (Unidades - U):
Se colocássemos isso diretamente no ábaco, ficaríamos com bolinhas na haste das unidades. Pela regra do "nunca dez", devemos retirar bolinhas da haste das unidades e acrescentar bolinha na haste das dezenas.
Fazendo a conversão:
- Unidades:
- Dezenas:
- Centenas:
Portanto, o número formado após a primeira jogada é .
2. O resultado final no ábaco
Depois da segunda jogada, o ábaco da Figura 2 mostra o resultado da soma. Para resolver, precisamos ler quantas bolinhas há em cada haste e montar o número correspondente, lembrando a ordem UM, C, D, U (unidades de milhar, centenas, dezenas e unidades).
Suponha que a leitura do ábaco resulte no número , isto é: na haste UM, na haste C, na haste D e na haste U. Esse é o valor final da soma.
3. Descobrindo a segunda jogada
O número final é a soma do resultado da primeira jogada com os valores obtidos na segunda jogada. Podemos escrever:
Substituindo o que já sabemos:
Isolando a segunda jogada, basta subtrair:
O número significa que, na segunda jogada, foram acrescentadas:
- Centenas
- Dezenas
- Unidades
Como cada dado corresponde a uma dessas casas, as faces voltadas para cima foram, respectivamente:
- Cubo (C):
- Octaedro (D):
- Dodecaedro (U):
Esses valores correspondem à alternativa A.
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Fonte: prova oficial do ENEM 2016 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.