Questão 164 do ENEM 2016 — Matemática

Análise da região no plano cartesiano

Para determinar o conjunto de desigualdades que define a região cinza $S$, precisamos encontrar as retas que formam as quatro bordas desse quadrilátero e, para cada uma, definir o sentido da desigualdade.

A região $S$ tem como vértices a origem $(0, 0)$, o ponto $(4, 9)$ (canto superior esquerdo), o ponto $(8, 9)$ (canto superior direito) e o ponto $(8, 3)$ (canto inferior direito).

Limites horizontal e vertical

Duas bordas são segmentos horizontal e vertical, o que facilita a leitura:

1. Borda superior: segmento horizontal de $(4, 9)$ a $(8, 9)$, sobre a reta $y = 9$. Como $S$ está inteiramente abaixo dela, temos $y \le 9$.
2. Borda direita: segmento vertical de $(8, 3)$ a $(8, 9)$, sobre a reta $x = 8$. Como $S$ está inteiramente à esquerda dela, temos $x \le 8$.

Já aqui podemos eliminar as alternativas A e D, que trazem $y \le 8$ e $x \le 9$ (invertidos em relação ao gráfico).

Retas inclinadas

As outras duas bordas são retas que passam pela origem, do tipo $y = mx$, com coeficiente angular $m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$.

1. Borda esquerda (mais inclinada): passa por $(0, 0)$ e $(4, 9)$. $m = \frac{9 - 0}{4 - 0} = \frac{9}{4} \Rightarrow y = \frac{9}{4}x$ Multiplicando por $4$: $4y = 9x$, ou seja, $4y - 9x = 0$.
2. Borda inferior (menos inclinada): passa por $(0, 0)$ e $(8, 3)$. $m = \frac{3 - 0}{8 - 0} = \frac{3}{8} \Rightarrow y = \frac{3}{8}x$ Multiplicando por $8$: $8y = 3x$, ou seja, $8y - 3x = 0$.

Sentido das desigualdades

Para saber qual sinal usar em cada reta inclinada, escolhemos um ponto de teste no interior de $S$, por exemplo $(6, 5)$.

• Reta $4y - 9x = 0$: $4(5) - 9(6) = 20 - 54 = -34 < 0 \Rightarrow 4y - 9x \le 0$
• Reta $8y - 3x = 0$: $8(5) - 3(6) = 40 - 18 = 22 > 0 \Rightarrow 8y - 3x \ge 0$

Conclusão

Reunindo as quatro condições que delimitam $S$:

• $4y - 9x \le 0$
• $8y - 3x \ge 0$
• $y \le 9$
• $x \le 8$

Esse conjunto corresponde exatamente à alternativa E.