Questão 150 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos descobrir qual loja oferece o menor custo total para o projeto. O custo total não depende apenas do preço de cada coluna, mas de quantas colunas precisaremos comprar em cada caso.

Entendendo o espaço e a disposição

A fileira de colunas será instalada paralelamente ao menor lado da sala, que mede $3\text{ m}$. Como as medidas da tabela e dos vãos estão em centímetros, o primeiro passo é converter essa medida para trabalharmos com a mesma unidade:

$3\text{ m} = 300\text{ cm}$

Esses $300\text{ cm}$ serão preenchidos pelas colunas e pelos espaços vazios (vãos) entre elas e as paredes.

Aqui entra um detalhe fundamental de raciocínio lógico: se colocarmos $n$ colunas, teremos sempre $n + 1$ vãos. Pense assim: com $1$ coluna, temos $2$ vãos (um de cada lado até a parede); com $2$ colunas, temos $3$ vãos, e assim por diante.

Montando a equação do projeto

O problema diz que os vãos não podem ser maiores que $15\text{ cm}$. Para gastarmos o mínimo possível, devemos usar a menor quantidade de colunas. Para isso, os vãos devem ser os maiores possíveis, ou seja, exatamente $15\text{ cm}$.

Outro ponto de atenção: a tabela nos fornece o raio das colunas, mas o espaço que elas ocupam na fileira é o diâmetro (que é o dobro do raio, $d = 2r$).

Podemos modelar o comprimento total da seguinte forma:

$(\text{Quantidade de colunas} \times \text{Diâmetro}) + (\text{Quantidade de vãos} \times 15) = 300$

Chamando o número de colunas de $n$ e o diâmetro de $d$, temos:

$n \cdot d + (n + 1) \cdot 15 = 300$ $n \cdot d + 15n + 15 = 300$ $n(d + 15) = 285$ $n = \frac{285}{d + 15}$

Atenção ao arredondamento: O valor de $n$ dificilmente será um número inteiro. Se der um número quebrado (ex: $8,2$), precisaremos arredondar para cima (para $9$). Se arredondarmos para baixo, os vãos teriam que ser maiores que $15\text{ cm}$ para preencher os $300\text{ cm}$, o que quebra a regra do projeto.

Analisando os orçamentos loja a loja

Agora, vamos aplicar nossa fórmula para cada loja, lembrando sempre de dobrar o raio para achar o diâmetro ($d$).

Loja I:

• Raio = $5\text{ cm} \implies d = 10\text{ cm}$
• $n = \frac{285}{10 + 15} = \frac{285}{25} = 11,4$
• Arredondando para cima: precisamos de $12$ colunas.
• Custo total: 12 \times \text{R\} , 60,00 = \text{R$} , 720,00$

Loja II:

• Raio = $10\text{ cm} \implies d = 20\text{ cm}$
• $n = \frac{285}{20 + 15} = \frac{285}{35} \approx 8,14$
• Arredondando para cima: precisamos de $9$ colunas.
• Custo total: 9 \times \text{R\} , 70,00 = \text{R$} , 630,00$

Loja III:

• Raio = $12\text{ cm} \implies d = 24\text{ cm}$
• $n = \frac{285}{24 + 15} = \frac{285}{39} \approx 7,30$
• Arredondando para cima: precisamos de $8$ colunas.
• Custo total: 8 \times \text{R\} , 75,00 = \text{R$} , 600,00$

Loja IV:

• Raio = $15\text{ cm} \implies d = 30\text{ cm}$
• $n = \frac{285}{30 + 15} = \frac{285}{45} \approx 6,33$
• Arredondando para cima: precisamos de $7$ colunas.
• Custo total: 7 \times \text{R\} , 90,00 = \text{R$} , 630,00$

Loja V:

• Raio = $20\text{ cm} \implies d = 40\text{ cm}$
• $n = \frac{285}{40 + 15} = \frac{285}{55} \approx 5,18$
• Arredondando para cima: precisamos de $6$ colunas.
• Custo total: 6 \times \text{R\} , 120,00 = \text{R$} , 720,00$

Conclusão

Comparando os valores totais, vemos que a verdadeira economia não está na coluna mais barata (Loja I) nem na que exige menos unidades (Loja V), mas sim no ponto de equilíbrio perfeito entre preço e quantidade.

O menor orçamento total é o da Loja III, custando \text{R\} , 600,00$.