Questão 149 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular a probabilidade de um evento específico ocorrer em uma série de eventos independentes. Neste caso, o nascimento de cada bebê é um evento independente, e a probabilidade de nascer um menino ou uma menina é a mesma.

Analisando o espaço amostral

Como a senhora está grávida de quadrigêmeos, teremos $4$ nascimentos. Para cada bebê, existem $2$ possibilidades de sexo: menino (M) ou menina (F).

O número total de combinações possíveis para o sexo dos quatro bebês é dado pelo princípio multiplicativo: $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16 \text{ possibilidades}$

Calculando os casos favoráveis

Queremos descobrir em quantas dessas $16$ possibilidades teremos exatamente $2$ meninos e $2$ meninas. Podemos pensar nisso como o número de maneiras de organizar as letras na "palavra" MMFF.

Isso é um problema de permutação com repetição, pois temos $4$ elementos no total, com a letra M se repetindo $2$ vezes e a letra F se repetindo $2$ vezes. A fórmula da permutação com repetição é: $P_n^{a, b} = \frac{n!}{a! \cdot b!}$

Substituindo os nossos valores: $P_4^{2, 2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6 \text{ casos favoráveis}$

Esses $6$ casos são: MMFF, MFMF, MFFM, FMMF, FMFM e FFMM.

Calculando a probabilidade

A probabilidade ($P$) de um evento ocorrer é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis: $P = \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}$

Substituindo os valores que encontramos: $P = \frac{6}{16}$

Simplificando a fração dividindo o numerador e o denominador por $2$, obtemos: $P = \frac{3}{8}$

Portanto, a probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é de $\frac{3}{8}$.