Questão 148 do ENEM 2014 — Matemática

Um terreno foi desenhado sobre um plano cartesiano em escala, e queremos o seu perímetro real. A estratégia tem três passos: medir cada lado na figura (em centímetros), somar tudo e, por fim, converter para o tamanho real usando a escala.

Lados retos da figura

Os lados horizontais e verticais têm suas medidas dadas diretamente pelas marcações dos eixos $x$ e $y$. Basta subtrair as coordenadas dos extremos de cada segmento, conforme indicado na figura:

• Lado esquerdo (vertical): vai de $y=1$ até $y=6$, logo mede $6-1=5\text{ cm}$.
• Lado inferior (horizontal): vai de $x=1$ até $x=9$, logo mede $9-1=8\text{ cm}$.
• Lado direito (vertical): vai de $y=1$ até a linha tracejada em $y=4$, logo mede $4-1=3\text{ cm}$.
• Lado superior (horizontal): vai de $x=1$ até a linha tracejada em $x=7$, logo mede $7-1=6\text{ cm}$.

Lado inclinado — Teorema de Pitágoras

O lado inclinado não coincide com as marcações, então usamos o triângulo retângulo que as linhas tracejadas formam com ele. Os catetos desse triângulo são as diferenças de coordenadas entre as extremidades do segmento inclinado:

• Cateto horizontal: $9-7=2\text{ cm}$.
• Cateto vertical: $6-4=2\text{ cm}$.

Aplicando Pitágoras para a hipotenusa $h$ (o lado inclinado): $h^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ $h = \sqrt{8}$

O próprio enunciado orienta usar $2{,}8$ como aproximação para $\sqrt{8}$. Portanto, o lado inclinado mede $2{,}8\text{ cm}$.

Perímetro no desenho e conversão

Somando todos os lados na figura: $P_{\text{desenho}} = 5 + 8 + 3 + 6 + 2{,}8 = 24{,}8\text{ cm}$

A escala $1:500$ significa que $1\text{ cm}$ no papel corresponde a $500\text{ cm}$ reais. Assim: $P_{\text{real}} = 24{,}8 \times 500 = 12\,400\text{ cm}$

Como o comando pede a resposta em metros e $1\text{ m} = 100\text{ cm}$: $P_{\text{real}} = \frac{12\,400}{100} = 124\text{ m}$

O perímetro real do terreno é de $124\text{ metros}$, correspondendo à alternativa C.