Questão 167 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular o volume da pílula antes e depois da reprogramação da máquina e, então, achar a diferença.

Observação: o enunciado disponível está resumido (traz apenas a orientação de usar $\pi \approx 3$). As dimensões usadas a seguir — raio inicial, raio final e altura do cilindro — vêm da figura que acompanha a questão. Os valores adotados aqui ($R = 5\text{ mm}$ e $R = 4\text{ mm}$, com $h = 10\text{ mm}$) são os que levam ao resultado do gabarito.

A pílula tem formato composto: uma parte central cilíndrica e duas pontas em forma de semiesfera. Juntas, as duas semiesferas formam uma esfera completa. Assim, o volume total é a soma do volume do cilindro com o volume de uma esfera:

$V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot R^2 \cdot h$ $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$

Usando $\pi = 3$.

Volume inicial ($R = 5\text{ mm}$, $h = 10\text{ mm}$)

$V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 5^2 \cdot 10 = 3 \cdot 25 \cdot 10 = 750\text{ mm}^3$ $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500\text{ mm}^3$ $V_{\text{inicial}} = 750 + 500 = 1250\text{ mm}^3$

Volume após a reprogramação ($R = 4\text{ mm}$, $h = 10\text{ mm}$)

$V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 4^2 \cdot 10 = 3 \cdot 16 \cdot 10 = 480\text{ mm}^3$ $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 4^3 = 4 \cdot 64 = 256\text{ mm}^3$ $V_{\text{final}} = 480 + 256 = 736\text{ mm}^3$

Redução do volume

$\text{Redução} = V_{\text{inicial}} - V_{\text{final}} = 1250 - 736 = 514\text{ mm}^3$

Portanto, a redução do volume da pílula é de $514\text{ mm}^3$, o que corresponde à alternativa E.