Questão 141 do ENEM 2013 — Matemática

A figura mostra três circunferências menores iguais, tangentes entre si, encaixadas dentro de uma circunferência maior de raio $R$. Conforme os valores indicados na figura, cada circunferência menor tem raio 30 cm e há um espaçador de 10 cm entre as menores e a borda da maior. O item pede o valor de $R$, usando 1,7 como aproximação para $\sqrt{3}$.

De que partes é feito o raio $R$

Se traçarmos um segmento saindo do centro da circunferência maior, passando pelo centro de uma das menores e seguindo até a borda externa, o raio $R$ fica dividido em três parcelas:

1. a distância $d$ do centro da circunferência maior até o centro de uma menor;
2. o raio da circunferência menor, 30 cm (dado da figura);
3. o espaçador até a borda, 10 cm (dado da figura).

Logo:

$R = d + 30 + 10 = d + 40$

Falta então descobrir $d$.

A geometria dos centros

Como as três circunferências menores são tangentes entre si, ao ligar seus centros obtemos um triângulo equilátero. O lado desse triângulo é a soma de dois raios das menores:

$L = 30 + 30 = 60\text{ cm}$

O centro da circunferência maior coincide com o baricentro desse triângulo. Em um triângulo equilátero, a distância do baricentro a cada vértice vale $\frac{2}{3}$ da altura $h$.

Calculando a altura e a distância $d$

Altura de um triângulo equilátero de lado $L$:

$h = \frac{L\sqrt{3}}{2} = \frac{60\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\text{ cm}$

Distância do baricentro ao vértice:

$d = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 30\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\text{ cm}$

Usando $\sqrt{3} \approx 1,7$:

$d = 20 \cdot 1,7 = 34\text{ cm}$

Valor final de $R$

Voltando à equação inicial:

$R = d + 40 = 34 + 40 = 74\text{ cm}$

Avaliação das alternativas

• A) Incorreta. $64 = 34 + 30$: esqueceu de somar o espaçador de 10 cm.
• B) Incorreta. Usou o ponto médio da altura em vez da propriedade do baricentro.
• C) Correta. $R = 74$ cm.
• D) Incorreta. Usou a altura total (51 cm) como distância e somou só o raio.
• E) Incorreta. Usou a altura total como $d$ e ainda somou raio e espaçador.

Portanto, o gabarito é a alternativa C.