Questão 136 do ENEM 2016 — Matemática

Para descobrir o número mínimo de viagens, precisamos primeiro determinar o volume total de grãos que o silo comporta. Pela figura, o silo é formado por duas partes: um cilindro na base e um cone no topo.

A estratégia é calcular o volume de cada parte, somá-los para obter o volume total e, então, dividir esse total pela capacidade de carga do caminhão, arredondando para cima o número de viagens.

Usaremos as medidas indicadas na figura e no enunciado: o raio da base do silo, $r$, a altura do cilindro, $h_c$, a altura do cone, $h_o$, e a capacidade do caminhão. Conforme assinalado no desenho, $r = 3\text{ m}$, $h_c = 12\text{ m}$ e $h_o = 3\text{ m}$; o enunciado ainda pede que se use $3$ como aproximação para $\pi$ e informa que cada caminhão transporta $20\text{ m}^3$ por viagem.

Volume do cilindro

O volume do cilindro é a área da base vezes a altura:

$V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot r^2 \cdot h_c$

Substituindo $r = 3$, $h_c = 12$ e $\pi \approx 3$:

$V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 3^2 \cdot 12 = 3 \cdot 9 \cdot 12 = 324\text{ m}^3$

Volume do cone

O volume do cone é um terço da área da base vezes a altura:

$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_o$

A base do cone é a mesma do cilindro, então $r = 3$; e $h_o = 3$. Substituindo:

$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 9 \cdot 3 = 27\text{ m}^3$

Volume total e número de viagens

Somando as duas partes:

$V_{\text{total}} = 324 + 27 = 351\text{ m}^3$

Como cada viagem transporta $20\text{ m}^3$, dividimos:

$N = \frac{351}{20} = 17{,}55$

Não é possível fazer uma fração de viagem, e o problema exige transportar todo o volume. Com $17$ viagens levam-se apenas $17 \cdot 20 = 340\text{ m}^3$, restando $11\text{ m}^3$, que exigem mais uma viagem. Logo, arredondando $17{,}55$ para cima, são necessárias $18$ viagens.

Portanto, o número mínimo de viagens é $18$.