Questão 138 do ENEM 2023 — Matemática

ENEM 2023Matemática1ª aplicação

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna.

Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

Resposta correta

Gabarito oficial: alternativa C

Resolução comentada

Para resolvermos essa questão, precisamos entender como a probabilidade de o cliente ganhar o voucher é calculada e como a alteração na urna B afeta esse resultado.

A condição para ganhar o voucher é retirar uma bolinha preta da urna A e uma bolinha preta da urna B. Como são eventos independentes, a probabilidade de ganhar é a multiplicação das probabilidades individuais.

Sabemos que a probabilidade de tirar uma bolinha preta da urna A é fixa: $P(A) = 20\% = 0,20$ .

Na urna B, a probabilidade inicial de tirar uma bolinha preta é de $25\%$ . O enunciado também nos diz que há $4$ bolinhas pretas nessa urna. Com isso, podemos descobrir o total de bolinhas na urna B antes de qualquer alteração. A probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis (bolinhas pretas) e o total de casos (total de bolinhas):

$P(B) = \frac{4}{\text{Total}} = 25\%$

Como $25\%$ é o mesmo que $\frac{1}{4}$ , temos:

$\frac{4}{\text{Total}} = \frac{1}{4} \implies \text{Total} = 16 \text{ bolinhas}$

O gerente quer adicionar bolinhas brancas à urna B. Vamos chamar a quantidade de bolinhas brancas adicionadas de $x$ . O novo total de bolinhas na urna B passará a ser $16 + x$ . Como apenas bolinhas brancas foram adicionadas, a quantidade de bolinhas pretas continua sendo $4$ .

A nova probabilidade de tirar uma bolinha preta da urna B será:

$P(B') = \frac{4}{16 + x}$

O objetivo do gerente é que a nova probabilidade de o cliente ganhar o voucher seja menor ou igual a $1\%$ (ou seja, $0,01$ ). A nova probabilidade de ganhar é a multiplicação da probabilidade da urna A pela nova probabilidade da urna B:

$P(\text{ganhar}) = P(A) \cdot P(B') \le 1\%$

Substituindo os valores que encontramos:

$0,20 \cdot \frac{4}{16 + x} \le 0,01$

Multiplicando os numeradores:

$\frac{0,80}{16 + x} \le 0,01$

Como o número de bolinhas $16 + x$ é positivo, podemos passá-lo multiplicando para o outro lado da inequação:

$0,80 \le 0,01 \cdot (16 + x)$

Para facilitar as contas, podemos dividir ambos os lados por $0,01$ (o que equivale a multiplicar por $100$ ):

$80 \le 16 + x$

Isolando o $x$ :

$x \ge 80 - 16$

$x \ge 64$

Portanto, o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B para que a probabilidade de vitória seja no máximo $1\%$ é $64$ .

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Fonte: prova oficial do ENEM 2023 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.