Questão 167 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar como a área reflorestada cresce ao longo dos anos.

O enunciado nos diz que, no primeiro ano, a área reflorestada é de $500$ hectares. Podemos chamar esse valor inicial de $A_1$: $A_1 = 500$

A partir do segundo ano, a área total reflorestada sofre um aumento de $50\%$ em relação ao ano anterior. Na matemática, aumentar um valor em $50\%$ é o mesmo que calcular $100\%$ desse valor mais $50\%$, ou seja, $150\%$ do valor original. Em forma decimal, isso equivale a multiplicar o valor por $1,5$.

Podemos observar o que acontece nos primeiros anos para entender o padrão:

• Ano 1: $A_1 = 500$
• Ano 2: $A_2 = 500 \cdot 1,5$
• Ano 3: $A_3 = (500 \cdot 1,5) \cdot 1,5 = 500 \cdot 1,5^2$
• Ano 4: $A_4 = (500 \cdot 1,5^2) \cdot 1,5 = 500 \cdot 1,5^3$

Note que o expoente do fator $1,5$ é sempre uma unidade menor que o número do ano correspondente. Esse comportamento é característico de uma Progressão Geométrica (PG), onde o primeiro termo é $A_1 = 500$ e a razão é $q = 1,5$.

A fórmula do termo geral de uma PG é dada por: $A_n = A_1 \cdot q^{n-1}$

Substituindo os valores que encontramos na fórmula, obtemos a expressão para a área total reflorestada ao final de $n$ anos: $A_n = 500 \cdot 1,5^{n-1}$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa B.