Questão 156 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos encontrar um tipo de cerâmica que preencha totalmente a sala de $3\text{ m} \times 4\text{ m}$ sem a necessidade de cortes e que utilize a menor quantidade possível de peças.

Para que não haja cortes, as peças devem se encaixar perfeitamente nas dimensões da sala. No caso de peças retangulares ou quadradas, isso geralmente significa que as dimensões da cerâmica devem ser divisores exatos das dimensões da sala. Vamos analisar cada tipo de peça disponível:

Análise das Peças

Tipo I: Quadrados com $0,5\text{ m}$ de lado Podemos verificar se a peça cabe perfeitamente dividindo as dimensões da sala pelo tamanho da peça:

• No lado de $3\text{ m}$: $3 \div 0,5 = 6$ peças.
• No lado de $4\text{ m}$: $4 \div 0,5 = 8$ peças. Como as divisões são exatas, não haverá cortes. O número total de peças será $6 \times 8 = 48$ peças.

Tipo II: Triângulos equiláteros com $0,5\text{ m}$ de lado Triângulos equiláteros possuem todos os ângulos internos iguais a $60^\circ$. Como a sala é retangular, seus cantos formam ângulos de $90^\circ$. É impossível preencher um canto de $90^\circ$ usando apenas ângulos de $60^\circ$ sem sobrepor ou cortar as peças. Portanto, esse tipo está descartado.

Tipo III: Retângulos de $0,5\text{ m} \times 0,6\text{ m}$ Vamos testar o encaixe alinhando os lados da peça com os lados da sala:

• Se alinharmos o lado de $0,6\text{ m}$ da peça com o lado de $3\text{ m}$ da sala: $3 \div 0,6 = 5$ peças.
• Se alinharmos o lado de $0,5\text{ m}$ da peça com o lado de $4\text{ m}$ da sala: $4 \div 0,5 = 8$ peças. Ambas as divisões são exatas, o que significa que não haverá cortes. O número total de peças será $5 \times 8 = 40$ peças.

Tipo IV: Triângulos retângulos isósceles com catetos de $0,5\text{ m}$ Juntando dois triângulos desse tipo pelas hipotenusas, formamos exatamente um quadrado de $0,5\text{ m} \times 0,5\text{ m}$ (que é a peça do Tipo I). Como vimos que são necessários $48$ quadrados do Tipo I para cobrir a sala, precisaremos do dobro de triângulos, ou seja, $48 \times 2 = 96$ peças. Não haverá cortes, mas a quantidade de peças é muito alta.

Tipo V: Quadrados com $0,6\text{ m}$ de lado Vamos verificar a divisão:

• No lado de $3\text{ m}$: $3 \div 0,6 = 5$ peças.
• No lado de $4\text{ m}$: $4 \div 0,6 \approx 6,66$ peças. Como a divisão no lado de $4\text{ m}$ não é exata, as peças não caberão perfeitamente e será necessário cortá-las. Logo, esse tipo está descartado.

Conclusão

Os únicos tipos que não exigem cortes são o Tipo I ($48$ peças), o Tipo III ($40$ peças) e o Tipo IV ($96$ peças). Como o mestre de obras recomendou a opção que utiliza o menor número de peças, a escolha correta é o Tipo III.