Questão 161 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos primeiro interpretar o que os $100$ metros lineares de tela representam na geometria do viveiro. O enunciado afirma que a tela é usada apenas nas laterais do prisma reto-retangular. Se olharmos o prisma de cima, as laterais formam o contorno da base. Portanto, os $100$ metros de tela correspondem exatamente ao perímetro da base retangular.

Equacionando o Perímetro

A base do viveiro é um retângulo de dimensões $X$ e $Y$. O perímetro ($P$) de um retângulo é a soma de todos os seus quatro lados. Assim, podemos montar a seguinte equação:

$2X + 2Y = 100$

Para facilitar nossos cálculos, podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por $2$:

$X + Y = 50$

Isolando a variável $Y$, obtemos uma relação importante que usaremos a seguir:

$Y = 50 - X$

Maximizando a Área

O objetivo da questão é descobrir os valores de $X$ e $Y$ para que a área da base seja a maior possível. A área ($A$) de um retângulo é calculada multiplicando-se a sua base pela sua altura (neste caso, as dimensões $X$ e $Y$):

$A = X \cdot Y$

Substituindo o $Y$ pela expressão que encontramos anteriormente ($Y = 50 - X$), transformamos a área em uma função que depende apenas de $X$:

$A(X) = X \cdot (50 - X)$

$A(X) = -X^2 + 50X$

Observe que chegamos a uma função do segundo grau (função quadrática). Como o coeficiente que acompanha o $X^2$ é negativo ($a = -1$), o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Isso nos garante que a função possui um ponto de máximo, que ocorre no vértice da parábola.

Para encontrar o valor de $X$ que maximiza a área, basta calcularmos a coordenada $X$ do vértice ($X_v$), cuja fórmula é:

$X_v = -\frac{b}{2a}$

Substituindo os valores da nossa função ($a = -1$ e $b = 50$):

$X_v = -\frac{50}{2 \cdot (-1)}$

$X_v = \frac{-50}{-2} = 25$

Descobrimos que $X$ deve medir $25$ metros. Para encontrar a medida de $Y$, basta voltar na equação que isolamos no início:

$Y = 50 - X$

$Y = 50 - 25 = 25$

Uma Dica Valiosa

Existe um princípio geométrico muito útil para ganhar tempo no Enem: dentre todos os retângulos que possuem um mesmo perímetro fixo, aquele que apresenta a maior área sempre será o quadrado.

Sabendo disso, se o perímetro é $100$ metros e queremos a área máxima, a figura deve ser um quadrado (onde todos os quatro lados são iguais). Logo, bastaria dividir o perímetro por $4$:

$X = Y = \frac{100}{4} = 25$

De ambas as formas, concluímos que as dimensões que maximizam a área da base do viveiro são $X = 25$ e $Y = 25$.