Questão 164 do ENEM 2015 — Matemática

O que a questão quer é o número de maneiras diferentes de acomodar as $7$ pessoas da família nas poltronas que estão livres no avião. O primeiro passo é identificar, na figura, quantas poltronas estão disponíveis.

Contando as poltronas livres na figura

No mapa de assentos, as poltronas ocupadas aparecem marcadas com um "X" e as livres aparecem em branco. É preciso contar na figura da prova quantas poltronas em branco existem — vamos chamar esse número de $D$ (o total de poltronas disponíveis).

Pela figura, as poltronas livres estão concentradas do lado direito, distribuídas em dois blocos (um na parte de cima e outro na parte de baixo). Somando os assentos em branco dos dois blocos, obtém-se o total de vagas $D$. No mapa desta prova esse total é $D = 9$ poltronas livres.

Por que é arranjo, e não combinação

A família tem $7$ pessoas, e cada uma é um indivíduo diferente. Isso significa que a ordem importa: trocar duas pessoas de lugar produz uma acomodação diferente. Colocar a pessoa A na poltrona 1 e a B na poltrona 2 não é a mesma coisa que B na 1 e A na 2.

Sempre que escolhemos posições E a ordem dos elementos faz diferença, usamos Arranjo Simples. O arranjo de $n$ elementos tomados $p$ a $p$ é: $A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}$

Montando a expressão

Aqui, o total de posições disponíveis é o número de poltronas livres ($n = D = 9$) e a quantidade que vamos ocupar é o número de pessoas ($p = 7$): $A_{9,7} = \frac{9!}{(9-7)!} = \frac{9!}{2!}$

Portanto, o número de formas distintas de acomodar a família é dado por $\dfrac{9!}{2!}$, o que corresponde à alternativa A.